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当x>0时,求证lnx+3/(4x^2)-1/(e^x)>0
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当x>0时,求证lnx+3/(4x^2)-1/(e^x)>0
▼优质解答
答案和解析
令f(x)=e^x -x,x>=0
则f'(x)=e^x-1,当x>0,f‘(x)>0 单调递增
又f(0)=0,所以当x>0时 f(x)>0,即e^x-x>0
x1/e^x
所以有：lnx+3/(4x^2)-1/(e^x)>lnx+3/(4x^2)-1/x
令g(x)=lnx+3/(4x^2)-1/x,x>0
令g'(x)=1/x-3/2x^2+1/x^2=(2x-1)/2x^2=0,解得x=1
有00
所以g(x)在x=1/2处取得最小值
g(1/2)=-ln2+3-2=1-ln2=lne-ln2>0
即g(x)>0
所以lnx+3/(4x^2)-1/(e^x)>g(x)>0
原不等式得证
则f'(x)=e^x-1,当x>0,f‘(x)>0 单调递增
又f(0)=0,所以当x>0时 f(x)>0,即e^x-x>0
x1/e^x
所以有：lnx+3/(4x^2)-1/(e^x)>lnx+3/(4x^2)-1/x
令g(x)=lnx+3/(4x^2)-1/x,x>0
令g'(x)=1/x-3/2x^2+1/x^2=(2x-1)/2x^2=0,解得x=1
有00
所以g(x)在x=1/2处取得最小值
g(1/2)=-ln2+3-2=1-ln2=lne-ln2>0
即g(x)>0
所以lnx+3/(4x^2)-1/(e^x)>g(x)>0
原不等式得证
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