（1）设a＞0，b＞0，求证：a3+b3≥a2b+ab2；（2）已知正数x、y满足2x+y=1，求1x+1y的最小值及对应的x、y值；（3）已知实数x、y、z满足x2+4y2+9z2=36，求x+y+z的最大值及对应的x、y、z值．

Question

（1）设a＞0，b＞0，求证：a³+b³≥a²b+ab²；
（2）已知正数x、y满足2x+y=1，求(1)/(x)+(1)/(y)的最小值及对应的x、y值；
（3）已知实数x、y、z满足x²+4y²+9z²=36，求x+y+z的最大值及对应的x、y、z值．

Answer 1

（1）证明：由于a＞0，b＞0，
则a³+b³-（a²b+ab²）=（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）
=（a+b）（a²-2ab+b²）=（a+b）（a-b）²≥0，
故a³+b³≥a²b+ab²；
（2）因为正数x、y满足2x+y=1，
(1)/(x)+(1)/(y)=（(1)/(x)+(1)/(y)）（2x+y）=3+(y)/(x)+(2x)/(y)≥3+2√((y)/(x)•(2x)/(y))=3+2√(2)，
当且仅当(y)/(x)=(2x)/(y)时取等号．  
由2x+y=1且当(y)/(x)=(2x)/(y)，x，y＞0 得x=1-(√(2))/(2)，y=√(2)-1，
所以当x=1-

作业帮用户 2017-10-15 举报

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问题解析

（1）运用作差法，注意运用因式分解，立方和公式和完全平方公式化简整理，即可得证；
（2）运用1的代换，即有(1)/(x)+(1)/(y)=（(1)/(x)+(1)/(y)）（2x+y），拆开整理，运用基本不等式即可得到最小值，注意等号成立的条件；
（3）由柯西不等式得到：[x2+(2y)2+(3z)2][12+((1)/(2))2+((1)/(3))2]≥(x+(1)/(2)×2y+(1)/(3)×3z)2．代入条件，化简即可得到最大值，注意等号成立的条件：x=4y=9z．

名师点评

本题考点：

不等式的证明．

考点点评：

本题考查不等式的证明，基本不等式的运用求最值，以及柯西不等式的运用求最值，注意等号成立的条件，属于中档题和易错题．

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