已知x＞0，y＞0，x+y=1，则x2x+2+y2y+1的最小值为1414．

Question

已知x＞0，y＞0，x+y=1，则(x2)/(x+2)+(y2)/(y+1)的最小值为

(1)/(4)

(1)/(4)

．

Answer 1

∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴(x2)/(x+2)+(y2)/(y+1)=(x2)/(x+2)+((1−x)2)/(2−x)，
 令 t=2-x，则x=2-t
 (x2)/(x+2)+(y2)/(y+1)=((2−t)2)/(4−t)+((t−1)2)/(t)=(4)/(4−t)+(1)/(t)-2=(3t+4)/(4t−t2)-2，

 设m=3t+4，则t=(m−4)/(3)，代入上式可得：(m)/((m−4)/(3).(16−m)/(3))=(9)/(−m−(64)/(m)+20)−2，

∵-m-(64)/(m)≤-16（m=8等号成立），
∴-m-(64)/(m)+20≤-16+20=4，(9)/(−m−64m+20)≥(9)/(4)

(9)/(−m−64m+20)-2≥(9)/(4)-2=(1)/(4)（m=8等号成立），此时t=(4)/(3)，x=(2)/(3)，y=(1)/(3)符合题意，

 故答案为：