设不等式组x＞0y＞0y≤−nx+3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N*）（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；（2）设Sn为数

Question

设不等式组

x＞0

y＞0

y≤−nx+3n

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）设S_n为数列{b_n}的前n项的和，其中b_n=2^f（n），问是否存在正整数n，t，使(Sn−tbn)/(Sn+1−tbn+1)＜(1)/(16)成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）f（1）=3，f（2）=6，
当x=1时，y取值为1，2，3，…，2n，共有2n个格点，
当x=2时，y取值为1，2，3，…，n，共有n个格点，
∴f（n）=n+2n=3n．
（2）b_n=2^f（n）=2³ⁿ=8ⁿ，为等比数列，
则S_n=(8(1−8n))/(1−8)＝(8)/(7)(8n−1)，
将S_n代入(Sn−tbn)/(Sn+1−tbn+1)＜(1)/(16)，
化简得(((8)/(7)−t)8n−(8)/(7))/(((8)/(7)−t)8n−(1)/(7))＜(1)/(2)，
当t=1，
((8n)/(7)−(8)/(7))/((8n)/(7)−(1)/(7))＜(1)/(2)，①，即(8n)/(7)＜(15)/(7)，此时n=1，
当t＞1，有（(8)/(7)-t）8ⁿ-(1)/(7)＜0，则①式可化为（(8)/(7)-t）8ⁿ＞(15)/(7)，不可能成立．
综上存在正整数n=1，t=1使(Sn−tbn)/(Sn+1−tbn+1)＜(1)/(16)成立．