已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同

Question

已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+ =0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q。

Answer 1

已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+ =0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q。

（Ⅰ）由题意知 ，所以， ，即 ，
又因为 ，所以， ，
故椭圆C的方程为 。
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4），
由 得 ， ①
设点 ，则 ，
直线AE的方程为 ，
令y=0，得 ，
将 代入整理，得 ，②
由①得 ，
代入②整理，得x=1，
所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）。