不等式证明若x>0y>0z>0且x,y,z不全相等求证1/x+1/y+1/z>9/(x+y+z)

Question

不等式证明
若x>0 y>0 z>0且x,y,z不全相等 求证1/x+1/y+1/z>9/(x+y+z)

Answer 1

1/x+1/y+1/z=[(x+y+z)/x+(x+y+z)/y+(x+y+z)/z ]/(x+y+z)
=[3+(y/x+x/y)+(x/z+z/x)+(z/y+y/z) ]/(x+y+z)
≥[3+2+2+2]/(x+y+z)=9/(x+y+z),(均值不等式）
x=y=z时等号成立.因为x,y,z不全相等,所以上式取不到"=".