实数x,y,z满足x+y+z=0,且x^2+y^2+z^2=1,记m是x^2,y^2,z^2中的最大者,则m的最小值,

Question

实数x,y,z满足x+y+z=0,且x^2+y^2+z^2=1,记m是x^2,y^2,z^2中的最大者,则m的最小值,

Answer 1

设z^2最大；则m=z^2:
因为 x+y+z=0;x^2+y^2+z^2=1
所以（x+y）^2+y^2+x^2=1
2x^2+2y^2+2xy=1
2x^2+2y^2=1-2xy①
因为x+y+z=0 z^2>=x^2;z^2>=y^2
所以z与x异号；z与y异号
所以xy>=0
所以2x^2+2y^2>=4xy
上式带入①得：
1-2xy>=4xy
即：xy=2xy
1-z^2>=2xy
z^2