计算第二类曲面积分：∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy，其中，Σ是三角形（x，y，z>0，x+y+z=1），法方向按与x，y，z轴成锐角为正．

Question

计算第二类曲面积分：∫∫

xdydz+ydzdx+zdxdy，其中，Σ是三角形（x，y，z>0，x+y+z=1），法方向按与x，y，z轴成锐角为正．

Answer 1

由题意，作积分曲面∑₁+∑₂+∑₃，它们分别为：
Σ₁：z=0，x，y>0，x+y=1，Σ₂：y=0，x，z>0，z+x=1，Σ₃：x=0，y，z>0，y+z=1，
则由高斯公式，得
∫Σ+Σ1+Σ2+Σ3xdydz+ydzdx+zdxdy=∫V3dxdydz=(1)/(2)
又∫Σ1xdydz+ydzdx+zdxdy=0，∫Σ2xdydz+ydzdx+zdxdy=0，∫Σ3xdydz+ydzdx+zdxdy=0
∴∫Σxdydz+ydzdx+zdxdy=(1)/(2)