已知a,b,c是不为1的正数,x>0,y>0,z>0,且有a^x=b^y=c^z和1/x+1/z=2/y,求证,a,b,c成等比数列

Question

已知a,b,c是不为1的正数,x>0,y>0,z>0,且有a^x=b^y=c^z和1/x+1/z=2/y,求证,a,b,c成等比数列

Answer 1

设a^x=b^y=c^z= K 取对数得：x=log a K y=log b K z=log c K
所以1/x+1/z = lga/lgK + lgc/lck 2/y= 2lgb/lgK
所以lga + lgc = 2lgb 所以ac=b^2 即a,b,c成等比数列