x+y+z=1.求证(1/x^2-1)(1/y^2-1)(1/z^2-1)≥512少一个X,Y,Z>0

Question

x+y+z=1.求证(1/x^2-1)(1/y^2-1)(1/z^2-1)≥512
少一个X,Y,Z>0

Answer 1

首先：an>0时,
a1+a2+a3+.+an>=n（a1a2a3...an)^(1/n) 当a1=a2=.=an时取等号
利用这个基本不等式的推广：很容易证明：
x+y+z=1 (x+y+z)^2=1
x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1
1-x^2=y^2+z^2+2(xy+yz+zx)
1/x^2-1=(1-x^2)/x^2=[ y^2+z^2+2(xy+yz+zx)]/x^2=[xy+xy+yz+yz+zx+zx+y^2+z^2]/x^2
>=8[（xyz)^4]^(1/8)/x^2=8(x^4(yz)^6)^(1/8)/x^2 当x=y=z时取等号.1
同样：
1/y^2-1>=8(y^4(xz)^6)^(1/8)/y^2 当x=y=z时取等号.2
1/z^2-1>=8(z^4(xy)^6)^(1/8)/y^2 当x=y=z时取等号.3
1,2,3式相*
(1/x^2-1)(1/y^2-1)(1/z^2-1)≥512(（xyz)^16)^(1/8)/(xyz)^2=512
当x=y=z=1/3时取等号.