求函数u=x+y+z在条件1/x+1/y+1/z=1下(x>0,y>0,z>0)的条件极值.最小值u(3,3,3)=9

Question

求函数u=x+y+z在条件1/x + 1/y + 1/z=1下(x>0,y>0,z>0)的条件极值.
最小值u(3,3,3)=9

Answer 1

利用拉格朗日数乘法
构造拉格朗日函数
F(x,y,z,λ)=x+y+z+λ(1/x + 1/y + 1/z-1)
将F对x,y,z,λ分别求偏导数,并令它们都等于0,得方程组
əF/əx=1-λ/(x^2)=0 (1)
əF/əy=1-λ/(y^2)=0 (2)
əF/əz=1-λ/(z^2)=0 (3)
əF/əλ=1/x + 1/y + 1/z-1=0 (4)
由(1)-(3)可得
λ/(x^2)=1,λ/(y^2)=1,λ/(z^2)=1
因此 x^2=y^2=z^2=λ
又因为x>0,y>0,z>0
所以 x=y=z (5)
将(5)带入(4)得
3/x=1
故x=3,于是x=y=z=3
故极小值为u(3,3,3)=3+3+3=9