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已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2,对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是.
题目详情
已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2,对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是______.
▼优质解答
答案和解析
对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,即xlnx-ax≥-x2-2恒成立,即a≤lnx+x+
在x∈(0,+∞)上恒成立.
令F(x)=lnx+x+
,
则F′(x)=
+1-
=
=
,
在(0,1)上F′(x)<0,在(1,+∞)上F′(x)>0,
因此,F(x)在x=1处取极小值,也是最小值,即Fmin(x)=F(x)=3,
∴a≤3.
故答案为:(-∞,3]
2 |
x |
令F(x)=lnx+x+
2 |
x |
则F′(x)=
1 |
x |
2 |
x2 |
x2+x−2 |
x2 |
(x+2)(x−1) |
x2 |
在(0,1)上F′(x)<0,在(1,+∞)上F′(x)>0,
因此,F(x)在x=1处取极小值,也是最小值,即Fmin(x)=F(x)=3,
∴a≤3.
故答案为:(-∞,3]
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