设f（x）=∑（从n=0到∞）x^n/n!（1）证明f（x）满足微分方程f’（x）=f（x）,x∈（-∞,+∞）；（2）证明f（x）=e^x,x∈（-∞,+∞）；（3）利用f（x）的表达式求级数∑（从n=0到∞）（-1）^n2^(n+1)

Question

设f（x）=∑（从n=0到∞）x^n/n!（1）证明f（x）满足微分方程f’（x）=f（x）,x∈（-∞,+∞）；
（2）证明f（x）=e^x,x∈（-∞,+∞）；
（3）利用f（x）的表达式求级数∑（从n=0到∞）（-1）^n 2^(n+1)/n!

Answer 1

1.f(x)=1+x+x^2/2+x^3/3!+...+x^n/n!+...把它看成多项式,求导 x^n/n!`=x^(n-1)/(n-1)!
f’（x）=0+1+x+x^2/2+x^3/3!+...+x^(n-1)/(n-1)!+...=1+x+x^2/2+x^3/3!+...+x^n/n!+...=f(x)
2 解常微分方程f’（x）=f（x）,f`(x)/f(x)=1.左右积分可得：ln(abs(f(x)))=C.abs是绝对值,C是一个常数.
所以,f(x)=C*exp(x).而f(0)=1.所以C=1
至于第三问嘛,你让x等于-2.就知道得几了,应该是2e^(-2)