设连续函数列{fn（x）}在[a，b]上一致收敛于函数f（x），xn∈[a，b]（n=1，2，3…），limn→∞xn=x0则limn→∞fn(xn)=f(x0)．

Question

设连续函数列{f_n（x）}在[a，b]上一致收敛于函数f（x），x_n∈[a，b]（n=1，2，3…），

lim

n→∞

xn=x0则

lim

n→∞

fn(xn)=f(x0)．

Answer 1

证明：由于函数列{f_n（x）}在[a，b]上一致收敛于函数f（x），因此
对∀ɛ>0，∃N₁>0，∀n>N₁，x∈[a，b]，都有|fn(x)-f(x)|<(ɛ)/(2)
而函数列{f_n（x）}是连续的，因此由一致收敛函数列的连续性定理知，f（x）在[a，b]连续
又x_n∈[a，b]（n=1，2，3…），

lim

n→∞

xn=x0
∴由极限的保号性知，x₀∈[a，b]
∴f（x）在x₀连续，即

lim

x→x0

f(x)=f(x0)
∴由海涅定理，知

lim

n→∞

f(xn)=f(x0)
于是，对上面的ɛ>0，∃N₂>0，∀n>N₂时，有|f(xn)-f(x0)|<(ɛ)/(2)
取N=max{N₁，N₂}，则
|f_n（x_n）-f（x₀）|=||f_n（x_n）-f（x_n）+f（x_n）-f（x₀|≤|f_n（x_n）-f（x_n）|+|f（x_n）-f（x₀）|<(ɛ)/(2)+(ɛ)/(2)=ɛ
故

lim

n→∞

fn(xn)=f(x0)．