设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）

Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称；
②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）若f（x）在区间[m-1，m]上恒有|f（x）-(x2)/(4)|≤1，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，
∴当x=1时，1≤f（1）≤1，
即f（1）=0；
（Ⅱ）∵当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称，
∴

a+b+c=1

-(b)/(2a)=-1

(4ac-b2)/(4a)=0

，
解得：

a=(1)/(4)

b=(1)/(2)

c=(1)/(4)

∴f（x）=(1)/(4)x2+(1)/(2)x+(1)/(4)；
（Ⅲ）若f（x）在区间[m-1，m]上恒有|f（x）-(x2)/(4)|≤1，
则在区间[m-1，m]上恒有|(1)/(2)x+(1)/(4)|≤1，
则

-1≤(1)/(2)(m-1)+(1)/(4)≤1

-1≤(1)/(2)m+(1)/(4)≤1

，
解得：m∈[-(3)/(2)，(3)/(2)]