已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，π2]时，求函数f（x）的取值范围．

Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0， (π)/(2)]时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为f（x）=sin2x-cos2x-1=√(2)sin(2x−(π)/(4))−1．
所以T＝(2π)/(2)＝π．（7分）
（Ⅱ）f(x)＝√(2)sin(2x−(π)/(4))−1
当x∈[0， (π)/(2)]时，−(π)/(4)≤2x−(π)/(4)≤(3π)/(4)，
所以当2x−(π)/(4)＝(π)/(2)，f(x)max＝√(2)−1，
当2x−(π)/(4)＝−(π)/(4)，f（x）_min=-2．
所以f（x）的取值范围是[−2， √(2)−1]．（13分）