cos^2x/e^x得不定积分是多少,怎么算的我分步积分积了半个小时了还积不出来

Question

cos^2x/e^x得不定积分是多少,怎么算的
我分步积分积了半个小时了还积不出来

Answer 1

∫cos^2xdx/e^x
=∫(cos2x+1)dx/2e^x
=(1/2)∫cos2xe^(-x)dx+(1/2)∫e^(-x)dx
=-(1/2)∫cos2xde^(-x)-(1/2)∫e^(-x)d(-x).(1)
=-(1/2)cos2xe^(-x)+(1/2)∫e^(-x)dcos2x-(1/2)e^(-x).
=(1/2)cos2xe^(-x)-∫e^(-x)sin2xdx-(1/2)e^(-x)
=(1/2)cos2xe^(-x)+∫sin2xde^(-x)-(1/2)e^(-x)
=(1/2)cos2xe^(-x)+sin2xe^(-x)-∫e^(-x)dsin2x-(1/2)e^(-x)
=(1/2)cos2xe^(-x)+sin2xe^(-x)-2∫e^(-x)cos2xdx-(1/2)e^(-x).(2)
由（1）、（2）,设∫e^(-x)cos2xdx=t,则有：
-(1/2)∫cos2xde^(-x)-(1/2）e^(-x)=(1/2)cos2xe^(-x)+sin2xe^(-x)-2t-(1/2)e^(-x).
(1/2)∫cos2xe^(-x)dx-(1/2）e^(-x)=(1/2)cos2xe^(-x)+sin2xe^(-x)-2t-(1/2)e^(-x).
t-(1/2）e^(-x)=(1/2)cos2xe^(-x)+sin2xe^(-x)-2t-(1/2)e^(-x).
t=(1/6)cos2xe^(-x)代入（2）,即可得到 ：
∫cos^2xdx/e^x
=(1/2)cos2xe^(-x)+sin2xe^(-x)-2*（1/6)cos2xe^(-x)-(1/2)e^(-x)
=(1/6)cos2xe^(-x)+sin2xe^(-x)-(1/2)e^(-x).