1.已知函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-√3cos2x,xε[π/4,π/2].求：（1）求f(x)的最大值和最小值.（2）若不等式|f(x)-m|

Question

1.已知函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-√3cos2x,xε[π/4,π/2].求：（1）求f(x)的最大值和最小值.（2）若不等式|f(x)-m|

Answer 1

1、(1)
f(x)=2sin²(π/4+x) - √3cos2x
=1-cos[2(π/4+x)] - √3cos2x
=1-cos(π/2+ 2x)] - √3cos2x
=1 + sin2x - √3cos2x
=2[(1/2)sin2x - (√3/2)cos2x] + 1
=2sin(2x - π/3) + 1
π/4≤x≤π/2
π/2≤2x≤π
π/6≤2x-π/3≤2π/3
1/2≤sin(2x-π/3)≤1
3/2≤sin(2x-π/3) + 1≤2
(2)
|f(x)-m|＜2恒成立,即-2＜f(x)-m＜2恒成立.
∵3/2 - m ≤ f(x)-m ≤ 2 - m
∴3/2 - m＞ -2 且 2 - m ＜ 2
∴0＜m＜1/2
2、
我把所有情况都写出来：
“0 1 2 3 4 5 6” 表示 表示笼子中剩余的“果蝇”数目.
---------------------
各中情况的概率：
0： 最后一只是苍蝇,C(7,1)/C(8,2)=1/4
1：最后一只是果蝇,且前一只飞出的是苍蝇,C(6,1)/C(8,2)=3/14
2：最后两只一只是果蝇,且前一只飞出的是苍蝇,C(5,1)/C(8,2)=5/28
3：. 三.: C(4,1)/C(8,2)=1/7
4： .四.: C(3,1)/C(8,2)= 3/28
5：.五.: C(2,1)/C(8,2)=1/14
6： .六.: C(1,1)/C(8,2)=1/28
(经检验,所有加起来等于1)
(1)、 C(1,1)/C(8,2)=1/28
(2)、 1 - C(7,1)/C(8,2) - C(6,1)/C(8,2) = 1 - 1/4 - 3/14 = 15/28
3、
(1)、 an=Sn - S(n-1) = 2n² - 2(n-1)² = 4n-2 , n≥2
把a1=S1=2代入也满足.
∴an=4n-2
(2)、 b1=a1=2,a2=6
∵b2(a2-a1)=b1
∴b2=1/2
∴q=b2/b1=1/4
∴bn=2×(1/4)^(n-1)
∴Cn=an/bn=(4n-2)/[2×(1/4)^(n-1)] = (2n-1)×4^(n-1)
Tn = 1×4^0 + 3×4^1 + 5×4^2 + 7×4^3 + …… + (2n-1)×4^(n-1)
4Tn = 1×4^1 + 3×4^2 + 5×4^3 + …… + (2n-3)×4^(n-1) + (2n-1)×4^n
两式相减,得：
3Tn = (2n-1)×4^n - 1 - 2[4^1 + 4^2+4^3 +……+4^(n-1)]
=(2n-1)×4^n - 1 - 2(4^n - 4)/3
=[(6n-5)4^n + 5]/3
∴Tn =[(6n-5)4^n + 5]/9
4、 (你这一题题目是不是丢了一个第二小问,是“(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围”吧?)
(1)、
f(x)= 2x³-3(a+1)x²+6ax+8
f'(x) = 6x²-6(a+1)x+6a
f'(3) = 54 -18(a+1)+6a=0
a=3
(2)、
f'(x) = 6x²-6(a+1)x+6a =6(x-a)(x-1)≥0
∵x＜0, ∴x-1＜ -1
∴x-a≤0
∴a≥x
要使上式恒成立
则a≥0
5、(又丢了)
(1)、
设双曲线C2的方程为：x²/a’²-y²/b’²=1.
∵椭圆C1的方程为x²/4+y²=1
∴a=2,b=1
∴c²=a²-b²=3,即c=√3
又∵双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左右焦点.
∴a’=c=√3,c’=a=2
∴b’² = c’² - a’² =1,即b’=1
∴双曲线C2方程为：x²/3 - y² =1；
(2)、是“若直线y=kx+√2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且向量OA·OB＞2（其中O为原点）,求k的范围”吧?
直线y=kx+√2,双曲线x²/3-y²=1
联立两个方程,并化简,得：
(1-3k²)x²-6√2kx-9=0,
∵直线y=kx+√2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B
∴△=(-6√2k)²+36(1-3k²)＞0, 且1-3k²≠0
即k²＜1 且 k²≠1/3 …………①
设A（x1,y1）,B（x2,y2）
则有x1+x2=6√2k/（1-3k²）,x1*x2=-9/（1-3k²）
∴y1*y2=（kx1+√2）（kx2+√2）
=k²x1x2+√2k（x1+x2）+2
=-9k²/（1-3k²）+12k²/（1-3k²）+2
=（2-3k²）/（1-3k²）
OA*OB=x1x2+y1y2
=-9/（1-3k²）+（2-3k²）/（1-3k²）
=（3k²+7）/（3k²-1）＞2
∴-√3＜k＜-√3/3或√3/3＜k＜√3 …………②
由①②,得：
k的范围为：-1＜k＜-√3/3 或 √3/3＜k＜1