一道概率题二维随机变量的概率密度,当x大于0小于Y,f（x,Y）=e的-y次,其他f（x,Y）=0,求P（X+Y小于等于1）的概率

Question

一道概率题
二维随机变量的概率密度,当x大于0小于Y,f（x,Y）=e的-y次,其他f（x,Y）=0,求P（X+Y小于等于1）的概率

Answer 1

当x大于0小于Y,f（x,y）=e^-y
P（x+y≤1）
有效区间由直线y=0,x=y,x+y=1围成
P（x+y≤1）
=∫(0~1/2)∫(y~1-y) e^-y dxdy
=∫(0~1/2) (1-2y)e^-y dy
=∫(0~1/2) (e^-y -2y*e^-y) dy
=[-e^-y](0~1/2)-∫(0~1/2) 2y de^-y
=-e^-0.5+1-[2ye^-y](0~1/2)+2∫(0~1/2) e^-y dy
=-e^-0.5+1-e^-0.5-2[e^-y](0~1/2)
=1-2e^-0.5-2(e^-0.5 -1)
=3-4e^-0.5
就在屏幕里积的分,可能有误,你最好再验算看看