比耐公式推理过程

Question

比耐公式推理过程

Answer 1

考虑一有心力作用在一质点上,由极坐标运动方程得 F(r) == m d^2 r / dt^2 - m ω^2 r (1)
由角动量守恒定律得 m ω r^2 == L (2)
将(2)代入(1),消去ω,得 F(r) == m d^2 r / dt^2 - L^2 / (m r^3) (3)
引入参数 u == 1 / r
则 dr / dt == dr / du * du / dθ * dθ / dt == - L / m * (du / dθ) (4)
则 d^2 r / dt^2 == - L^2 u^2 / m^2 * (d^2 u / dθ^2) (5)
将(5)代入(3),则有
F(r) == - L^2 u^2 / m * (d^2 u / dθ^2) - L^2 u^3 / m (6)
此即比纳公式.