已知(1/2)^(1/2)=(1/4)^(1/4),证明有无数个类似s^s=r^r的式子存在

Question

已知(1/2)^(1/2)=(1/4)^(1/4),证明有无数个类似s^s=r^r的式子存在

Answer 1

令f(x)=xlnx,x>0
则f'(x)=lnx+x*1/x=1+lnx
显然当 x=1/e时 f'(x)=0
当 0当 x>1/e时,f(x)是单调增函数
而 lim(x→0)f(x)=0
lim(x→1)f(x)=0
所以对于任意s∈(0,1/e),总会有 r∈(1/e,1),使得 f(s)=f(r)
也就是 slns=rlnr
即 s^s=r^r