如图，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，直角边AB、BC的长（AB<BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的

Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，直角边AB、BC的长（AB<BC）是方程x²-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为√(10)时运动时间t的值；
（3）点P在运动的过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x²-7x+12=（x-3）（x-4）=0，
∴x₁=3或x₂=4．
则AB=3，BC=4，

（2）由题意得32+(t-3)2=√(10)，
∴t₁=4，t₂=2（舍去）
则t=4时，AP=√(10)，

（3）存在点P，使△ABP是等腰三角形．
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，根据勾股定理得，AC=5，
①当AP=AB=3时，如图1，
，
∴PC=AC-AP=5-3=2，
∴点P运动路程是AB+BC+PC=3+4+2=9，
∴t=9（秒）．
②当BP=BA=3时，如图2，

当P在AC上时，
过点B作BD⊥AC于D，
根据△ABC的面积得，(1)/(2)BD•AC=(1)/(2)AB•BC，
∴BD=(12)/(5)
在Rt△ABD中，AB=3，BD=(12)/(5)，
根据勾股定理得，AD=(9)/(5)，
∴PC=AC-2AD=(7)/(5)，
∴点P运动的路程为AB+BC+PC=3+4+(7)/(5)=(42)/(5)，
∴t=(42)/(5)（秒）
当P在BC上时，如图3，
，
∴点P运动的路程为AB+BP=3+3=6，
∴t=6（秒）
③当BP=AP （即P为AC中点时），
∴t=9.5（秒）
可知当t为9秒或9.5秒或6（秒）或(42)/(5)（秒）时，△ABP是等腰三角形．