如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，已知轨道的半径为R，小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰等于小球的重力．请求出（1）小球过最高点时的速度为多大

Question

如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，已知轨道的半径为R，小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰等于小球的重力．请求出
（1）小球过最高点时的速度为多大？
（2）小球过半圆形轨道最低点A时的速度为多大？
（3）小球落地时距离A点多远？速度又为多大？

Answer 1

（1）由题意可知 在最高点小球的向心力为  F_向=N+mg=2mg
 又F_向=m(v2)/(R)
即2mg=m(v2)/(R)
解得 v=√(2gR)
（2）小球从A运动到最高点的过程中，只有重力做功，所以小球机械能守恒．
取A点所在平面为零势能面，有E₁=E₂
即：(1)/(2)mv²+mg•2R=(1)/(2)mv_A²  
解得 v_A=√(6gR)
（3）小球离开轨道做平抛运动  h=2R=(1)/(2)gt² 即 t=2√((R)/(g))
水平距离 S=vt=√(2gR)•2√((R)/(g))=2√(2)R           
因为小球运动过程中机械能守恒，所以落地点的机械能与A点相同
又因为落地点与A点在同一水平面上，所以落地时速度大小 v′=v_A=√(6gR)
答：
（1）小球过最高点时的速度为√(2gR)．
（2）小球过半圆形轨道最低点A时的速度为√(6gR)．
（3）小球落地时距离A点的距离为2√(2)R，速度又为√(6gR)．