如图所示，宇航员在地球表面完成以下实验：在固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，给质量为m的小球水平初速度v，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，而宇航员在某星球表面重

Question

如图所示，宇航员在地球表面完成以下实验：在固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，给质量为m的小球水平初速度v，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，而宇航员在某星球表面重复上述实验时发现小球只能上升至圆心等高处．已知该星球半径为地球半径的2倍，小球可视为质点，可求得该星球和地球的密度之比为（　　）

A. 5：4

B. 4：5

C. 5：1

D. 1：5

Answer 1

在地球表面，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，在最高点有：mg1=m(v12)/(r)，解得v1=√(g1r)．
根据动能定理得，mg1•2r=(1)/(2)mv2-(1)/(2)mv12，解得g₁=(v2)/(5r)．
在星球的表面，小球只能上升至圆心等高处，根据动能定理得，mg2r=(1)/(2)mv2，解得g2=(v2)/(2r)，
则(g1)/(g2)=(2)/(5)，
根据G(Mm)/(R2)=mg得，质量M=(gR2)/(G)，则密度ρ=(M)/((4πR3)/(3))=(3g)/(4πGR)，
因为星球表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值为5：2，半径之比为2：1，则密度之比为5：4．
故选：A．