一质量均匀分布的柔软细绳竖直悬挂,下端刚好在水平桌面,证明,绳下落的过程中,任意时刻作用于桌面的压力,等于已落到桌面上的绳所受重力的3倍.

Question

一质量均匀分布的柔软细绳竖直悬挂,下端刚好在水平桌面,证明,绳下落的过程中,任意时刻作用于桌面的压力,等于已落到桌面上的绳所受重力的3倍.

Answer 1

v=dx/dt——速度=所经距离的微分/所用时间的微分,微分——无穷小的变化量.
　　设绳子的线密度为k；重力加速度为g；设绳子下落了一段时间t（在下落过程中任取）,此时正在下落的那部分绳子的速度为v,已落在桌子上的绳长为x；在绳上取一线元（即无穷小的一段）dx,此时dx已接触到桌面,无穷小的一段时间dt过后,dx就落在桌面上了；dx在dt这段时间内受到的冲力设为F；桌面受到的压力设为N；已落在桌上的绳重为G.
　　v=gt——(1),v=dx/dt——(2)（线元dx在未落于桌面上之前的速度正是上半段正在下落的那部分绳子的速度）,x=gtt/2——(3),0-(k*dx)*v=-F*dt——(4)（动量定理：线元dx在dt内受到冲力F的作用,从而速度由v变成0）,N=F+G——(5),G=k*x*g——(6).
　　由(4)得：F=k*(dx/dt)*v；代入(2)得：F=kvv；代入(1)得：F=kggtt——(7).(3)代入(6)得：G=kggtt/2——(8),(7)(8)代入(5)得：N=3kggtt/2 所以,N=3G.