图甲为研究匀速直线运动的实验装置，一个半径为2cm的球由于磁铁的吸引静止在盛水的玻璃管底，水深1m．移除磁铁后，球在玻璃管中上升，图乙为球在露出水面前运动速度与时间的关系图

Question

图甲为研究匀速直线运动的实验装置，一个半径为2cm的球由于磁铁的吸引静止在盛水的玻璃管底，水深1m．移除磁铁后，球在玻璃管中上升，图乙为球在露出水面前运动速度与时间的关系图象，其中v₀=0.05m/s，水的密度为1.0×10³kg/m³，求：

（1）移除磁铁前，玻璃管底受到水的压强；
（2）球在玻璃管上升过程中前4s的平均速度；
（3）已知球上升时受到水的阻力与其速度的关系为f=kv，球的体积用V，水的密度用ρ₀表示，请推导球的密度表达式（用字母表示）

Answer 1

（1）移除磁铁前，玻璃管底受到水的压强：
p=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1m=1×10⁴Pa；
（2）由图可知，球在露出水面前运动的时间为21s，
根据v=(s)/(t)可得，4-21s球上升的距离：
s₀=v₀t=0.05m/s×17s=0.85m，
则球在玻璃管上升过程中前4s上升的距离：
s′=s-s₀=1m-0.85m-2×0.02m=0.11m，
所以，球在玻璃管上升过程中前4s的平均速度：
v′=(s′)/(t′)=(0.11m)/(4s)=0.0275m/s；
（3）由图可知，球4-21s时匀速上升，受力平衡，所以有：G+f=F_浮，
根据G=mg、ρ=(m)/(V)可得G=ρVg，
又知，f=kv，F_浮=ρ₀gV，
则ρVg+kv=ρ₀gV，
球的密度ρ=(ρ0gV-kv)/(Vg)=ρ₀-(kv)/(Vg)．
答：（1）移除磁铁前，玻璃管底受到水的压强为1×10⁴Pa；
（2）球在玻璃管上升过程中前4s的平均速度为0.0275m/s；
（3）球的密度表达式为ρ=ρ₀-(kv)/(Vg)．