正方形ABDE和ACFG是以三角形ABC的AB,AC边为一边的正方形,AH垂直于BC,HA的延长线与EG相交于M,求证:EM=MG

Question

正方形ABDE和ACFG是以三角形ABC的AB,AC边为一边的正方形,AH垂直于BC,HA的延长线与EG相交于M,求证:EM=MG

Answer 1

证：过E作AG的平行线,交HM的延长线于N,连接NG.
因EN平行AG,则角NEA+角EAG=180度
又ABDE和ACFG是正方形,有角EAG+角BAC=360度-90度-90度=180度
所以 角NEA=角CAB.
又,角EAN+角HAB=180度-90度=90度,且因AH垂直BC知,角ABC+角HAB=90度,
所以,角EAN=角ABC
同时,在正方形ABDE中,EA=AB
从而,三角形NEA与CAB全等.
因此,NE=CA.
又在正方形ACFG中,CA=AG,故NE=AG.
结合EN平行AG可知,四边形AENG是平行四边形.那么,对角线AN与EG平分于M点.即EM=MG.