微分方程ydx+(x-y)dy=0的通解是

Question

微分方程ydx+(x-y)dy=0的通解是

Answer 1

这个题目需要引入一个新的参数的
首先,把原式化简一下,等式两边先同时除以dx,再同时除以x,就可以得到：
y/x+(1-y/x)(dy/dx)=0的等式,
于是乎,可以设u=y/x,因此dy/dx=du*x/dx+u,
再把这个东西带到上面的式子里：u+(1-u)(du*x/dx+u)=0
然后就对这个式子解微分方程就可以了.
化简以后可以得到：du/dx *x(1-u)=u^2-2u
继续化简就是：
du*(1-u)/(u(u-2))=dx /x
最后两边同时积分.这里右边积分很容易,就是ln x,而左边可以进行一个调整
左边的(1-u)/(u(u-2)) 可以变形为：（1/u+1/(u-2)）*(-1/2）,对这个积分就变得很容易了,所以左边积分后就是：-1/2*(ln u +ln(u-2))啦~然后因为是通解,所以还要再加上一个常数C,所以就是：-1/2*(ln u +ln(u-2))=ln x+C
最后再把 u=y/x带进去就可以了~