什么是柯西方程（也就是几何方程）,就是弹性力学中的几何方程.

Question

什么是柯西方程（也就是几何方程）,
就是弹性力学中的几何方程.

Answer 1

指函数方程f(x+y)=f(x)+f(y) x,y属于R
最先由柯西提出,并用所谓的“爬坡法”解决.
是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的.
为需要对连续函数很熟悉.
一、 先证明f>0首先说明f没有零点,否则有f(y)=f(x)*f(y-x)=0,从而f是常数函数.
于是由连续函数性质,f恒正或恒负.
由条件得,f(x)>0,进而可得f(0)=1；
二、 可以保证构造良定的连续函数G(x)=ln(f(x)),有性质：G(x+y)=G(x)+G(y).
只需证明G(x)是个线性函数,即G(x)=lna * x,为此又等价于G(kx)=kG(x),k是任意实数.
下面又要用到连续的性质了,不过基本的方法还是初等的,似乎也被叫做什么归纳法（名字我忘了）,就是初等证明Hölder不等式之类一模一样的思路,具体不细写了.
1,显然对任意正整数k成立,由f(0)=1可得对k为任意整数成立；
2,对任意有理数k成立；
3,利用实数性质和G的连续性,用有理数逼近无理数.
最终实现证明G(kx)=kG(x),k属于R.令x=1就完成了.