在关于x的方程x2-2ax+14b2=0中，a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长，且这个方程的两根之差的绝对值为8．则这个三角形的内切圆面积是．

Question

在关于x的方程x²-2ax+(1)/(4)b²=0中，a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长，且这个方程的两根之差的绝对值为8．则这个三角形的内切圆面积是______．

Answer 1

如图，AB=AC=a，BC=b，AE⊥BC，FD⊥AB，圆F是△ABC的内切圆，
∴BE=(1)/(2)BC=(1)/(2)b，AE=√(AB2−BE2)=(1)/(2)√(4a2−b2)；
∵x₁+x₂=2a，x₁x₂=(1)/(4)b²，
又∵|x₁-x₂|=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64，即4a²-b²=64；
∵a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长，
∴S_△=(1)/(2)b×(1)/(2)×√(4a2−b2)=12，
与4a²-b²=64联立方程解得，b=6，a=5；
设内切圆半径为x，则
EF=DF=x，
∴BE=BD=3，AD=AB-BD=5-3=2，AD²+DF²=AF²=（AE-EF）²，
∴2²+x²=（4-x）²，
解得x=(3)/(2)；
∴三角形的内切圆面积=π×（(3)/(2)）²=(9π)/(4)．