求证：当x＞0,且x≠1时,不等式xlnx＞x-1成立.

Question

求证：当x＞0,且x≠1时,不等式xlnx＞x-1成立.

Answer 1

因为当x＝1是xlnx＝x-1
而d(xlnx)/dx=1+lnx,d(x-1)/dx=1
所以当0＜x＜1时,d(xlnx)/dx＜d(x-1)/dx
当x＞1时,d(xlnx)/dx＞d(x-1)/dx
而d(f(x))/dx代表了函数f(x)的增长率,
所以可知在整个x＞0的范围内且x≠1时,不等式xlnx＞x-1成立.
画图可以看得很清楚的,当然也可以求积分,或者还可以用泰勒展开式