下列命题关于z=f（x，y）在P0（x0，y0）的全微分描述错误的是（）A．dz是△x与△y的线性函数B．dz与△z之差比ρ为高阶无穷小C．f（x，y）在P0（x0，y0）可微，则f（x，y）在P0（x0，y0）连

Question

下列命题关于z=f（x，y）在P₀（x₀，y₀）的全微分描述错误的是（　　）

A．dz是△x与△y的线性函数
B．dz与△z之差比ρ为高阶无穷小
C．f（x，y）在P₀（x₀，y₀）可微，则f（x，y）在P₀（x₀，y₀）连续
D．f（x，y）在P₀（x₀，y₀）存在两个偏导数，则在f（x，y）在P₀（x₀，y₀）一定可微

Answer 1

①选项A．由df(x0，y0)＝fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y+o(√(△x2+△y2))知，dz是△x与△y的线性函数，故A正确；
②选项B．由dz＝△z+o(√(△x2+△y2))知，dz与△z之差比ρ为高阶无穷小，故B正确；
③选项C．由f（x，y）在（x₀，y₀）点可微，得△f=f（x₀+△x，y₀+△y）-f（x₀，y₀）=A△x+B△y+o（ρ）
因此

lim

(x，y)→(x0，y0)

f(x0+△x，y0+△y)=

lim

ρ→0

[f(x0，y0)+△f]＝f(x0，y0)，即连续
即可微⇒连续
故C正确；
④选项D．函数可微分，可以得出函数连续，但反之不成立
故D错误
故选：D．