设A(xAyA)，B(xByB)为平面直角坐标系上的两点其中xAyAxByBÎZ.令△x=xB-xA，△y=yB-yA若|△x|+|△y|=3，且|△x|·|△y|≠0则称点B为点A

Question

设 A ( x _A y _A )， B ( x _B y _B )为平面直角坐标系上的两点 其中 x _A y _A x _B y _B Î Z .令△ x = x _B - x _A ，△ y = y _B - y _A 若|△ x |+|△ y |=3，且|△ x |·|△ y |≠0 则称点 B 为点 A 的“相关点” 记作： B = f ( A ).

(1)请问:点(0 0)的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上 若在 写出圆的方程；若不在，说明理由；

(2)已知点 H (9 3) L (5 3) 若点 M 满足 M = f ( H ) L = f ( M ) 求点 M 的坐标；

(3)已知 P ₀ ( x ₀ y ₀ )( x ₀ Î Z y ₀ Î Z )为一个定点 若点 P _i 满足 P _i = f ( P _{i -1} ) 其中 i =1 2 3 ··· n ，求| P ₀ P _n |的最小值．

 

Answer 1

（1）x²+y²=5 （2）M(7 2)或M(7 4). （3）当时 |P0Pn|的最小值为; 当n=2k kÎN *时 |P0Pn|的最小值为0； 当n=2k+1 kÎN *时 |P0Pn|的最小值为1.

分 析：
解: (1)因为|△x|+|△y|=3(|△x| |△y|为非零整数) 故|△x|=1 |△y|=2或|△x|=2 |△y|=1 所以点(0 0)的“相关点”有8个 . 又因为(△x)²+(△y)²=5 即(△x-0)²+(△y-0)²="5" . 所以这些可能值对应的点在以(0 0)为圆心 为半径的圆上， 方程为x²+y²="5" .                     3分 (2)设M(xM yM) 因为M=f(H) L=f(M) 所以有|xM-9|+|yM-3|="3 " |xM-5|+|yM-3|=3 所以|xM-9|=|xM-5| 所以xM=7 yM=2或yM=4 所以M(7 2)或M(7 4).                6分 (3) 当n=1时 可知|P0Pn|的最小值为; 当n=2k kÎN *时 |P0Pn|的最小值为0 ; 当n=3时 对于点P 按照下面的方法选择“相关点” 可得P3(x0 y0+1): P0(x0 y0)→P1(x0+2 y0+1)→P2(x0+1 y0+3) →P3(x0 y0+1) 故|P0Pn|的最小值为1 当n=2k+3 kÎN *时 对于点P 经过2k次变换回到初始点P0(x0 y0) 然后经过3次变换回到Pn(x0 y0+1) 故|P0Pn|的最小值为1. 综上 当时 |P0Pn|的最小值为; 当n=2k kÎN *时 |P0Pn|的最小值为0； 当n=2k+1 kÎN *时 |P0Pn|的最小值为1.         10分
考点：
圆的方程，两点距离
点评：
主要是考查了圆的方程的求解，以及两点距离的最值，属于中档题。