如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交边AC于点F．（1）求BC的长；（2）设FC=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结EF，

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交边AC于点F．
（1）求BC的长；
（2）设FC=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，
∵AB²=BC²+AC²，
∴BC=8．

（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△ACB∽△EHB，
可得：(BC)/(AC)＝(BH)/(EH)
即：(8)/(6)＝(BH)/(EH)…①
∵DF⊥DE
∴∠EDB+∠FDC=90°，
∵∠FDC+∠CFD=90°，
∴∠EDB=∠CFD
∵∠EHD=∠C=90°
∴△DFC∽△EDH，
可得：(CF)/(CD)＝(DH)/(EH)，
即：(x)/(4)＝(DH)/(EH)…②
结合①②，可得：BH=(64)/(3x+16)，
∵△ACB∽△EHB，
∴(BC)/(AB)＝(BH)/(BE)，
即：(8)/(10)＝(BH)/(y)，
∴y=(5)/(4)BH=(80)/(3x+16)，
∵其中F是在AC线段上的，
∴0≤x≤6．
∴y关于x的函数关系式：y=(80)/(3x+16)（0≤x≤6）．

（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=3k，BE=5k
∵△EHD∽△DCF
∴(EH)/(CD)＝(DE)/(DF)，
当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：
①(DE)/(DF)＝(AC)/(BC)＝(3)/(4)，
∴(EH)/(CD)＝(3)/(4)，
即(3k)/(2)＝(3)/(4)，
解得k＝(1)/(2)，
∴BE＝5k＝(5)/(2)；
②(DE)/(DF)＝(BC)/(AC)＝(4)/(3)，
∴(EH)/(CD)＝(4)/(3)，
即