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(2013•黄浦区一模)已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)与B(3,0),交y轴于点C,其图象顶点为D.(1)求此二次函数的解析式;(2)试问△ABD与△BCO是否相似?并证明你的
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(2013•黄浦区一模)已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)与B(3,0),交y轴于点C,其图象顶点为D.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)试问△ABD与△BCO是否相似?并证明你的结论;
(3)若点P是此二次函数图象上的点,且∠PAB=∠ACB,试求点P的坐标.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)试问△ABD与△BCO是否相似?并证明你的结论;
(3)若点P是此二次函数图象上的点,且∠PAB=∠ACB,试求点P的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)与B(3,0),
∴
,
解得,
,
∴此二次函数的解析式是:y=x2-4x+3;
(2)△ABD与△BCO相似.
理由如下:
∵由(1)知,该抛物线的解析式是y=x2-4x+3=(x-2)2-1.
故C(0,3),D(2,-1).
∵OC=OB=3,
∴△BCO是等腰直角三角形.
又∵A(1,0)、B(3,0)、D(2,-1),
∴AD=BD=
,AB=2,
∴AB2=AD2+BD2
∴∠ADB=90°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴△ABD与△BCO相似;
(3)延长CA,并过B点做垂直于CA的直线与CA相交与E点,
∵∠CAO=∠BAE,
∠COA=∠BEA,
∴△COA∽△BEA,
∴
=
=
,
根据勾股定理,CA=
,
则EA=
∴
|
解得,
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∴此二次函数的解析式是:y=x2-4x+3;
(2)△ABD与△BCO相似.
理由如下:
∵由(1)知,该抛物线的解析式是y=x2-4x+3=(x-2)2-1.
故C(0,3),D(2,-1).
∵OC=OB=3,
∴△BCO是等腰直角三角形.
又∵A(1,0)、B(3,0)、D(2,-1),
∴AD=BD=
2 |
∴AB2=AD2+BD2
∴∠ADB=90°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴△ABD与△BCO相似;
(3)延长CA,并过B点做垂直于CA的直线与CA相交与E点,
∵∠CAO=∠BAE,
∠COA=∠BEA,
∴△COA∽△BEA,
∴
CA |
BA |
CO |
BE |
OA |
EA |
根据勾股定理,CA=
10 |
则EA=
|
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