如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=3，过点A作∠CAE=∠B，交边CB于点E，交线段CD于点H．（1）求证：AE⊥CD；（2）设AC=x，CH=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当AE=CD时，求CH的

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=3，过点A作∠CAE=∠B，交边CB于点E，交线段CD于点H．

（1）求证：AE⊥CD；
（2）设AC=x，CH=y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）当AE=CD时，求CH的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=BD，
∴∠B=∠DCB，
又∵∠CAE=∠B，
∴∠DCB=∠CAE，
∵∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠CAE+∠ACD=90°，
又∵∠CAE+∠ACD+∠AHC=180°，
∴∠AHC=90°．
即 AE⊥CD，

（2） ∵CD=3，
∴AD=3．
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AH²=x²-y²，
在Rt△ADH中，由勾股定理得：AH²=3²-（3-y）²，
∴x²-y²=3²-（3-y）²，
得到y=(x2)/(6)，（0<x<3√(2)）；

（3） 过点D作DG⊥BC，垂足为G，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠DCG=90°，
∴∠CAH=∠DCG，
在△ACE与△CGD中，

∠CAE=∠DCG

∠ACE=∠CGD=90°

AE=CD

，
∴△ACE≌△CGD，
∴CG=AC=x，
∵CD=BD，DG⊥BC，
∴CB=2CG=2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x²+（2x）²=6²，
解得：x2=(36)/(5)，
∴y=(6)/(5)，即 CH=(6)/(5)．