如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，OBOA=34，点C是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，求出点C的坐标；若

Question

如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，(OB)/(OA)=(3)/(4)，点C是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

x=0时，y=3，
所以，OB=3，
∵(OB)/(OA)=(3)/(4)，
∴AO=4，
由勾股定理得，AB=√(OA2+OB2)=√(32+42)=5，
∵点C是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，
∴∠CBD=∠ABO，
①BC与AB是对应边时，
∵△BCD≌△BAO，
∴BD=BO=3，
CD=AO=4，
∴OD=OB+BD=3+3=6，
∴点C（-4，6）；
②BC与BO是对应边时，过点C作CE⊥y轴于E，
∵△BCD≌△BOA，
∴BC=BO=3，
∴CE=BC•sin∠CBD=3×(4)/(5)=(12)/(5)，
BE=BC•cos∠CBD=3×(3)/(5)=(9)/(5)，
若点C在y轴的左边，则OE=OB+BE=3+(9)/(5)=(24)/(5)，
此时，点C（-(12)/(5)，(24)/(5)），
若点C在y轴的右边，则OE=OB-BE=3-(9)/(5)=(6)/(5)，
此时，点C（(12)/(5)，(6)/(5)）．
综上所述，存在点C（-4，6）或（-(12)/(5)，(24)/(5)）或（(12)/(5)，(6)/(5)），使△BCD与△AOB全等．