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(2012•泰顺县模拟)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式及顶点M坐标;(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PAC的周长
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(1)求抛物线的解析式及顶点M坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PAC的周长最小,并求出点P的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=-x2+bx+c过B(3,0),C(0,3)两点,
∴c=3,
-9+3b+3=0,解得b=2.
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
则顶点M为(1,4).
(2)如图1,∵点A、B关于抛物线的对称轴对称,
∴连接BC与抛物线对称轴交于一点,即为所求点P.
设对称轴与x轴交于点H,
∵PH∥y轴,
∴△PHB∽△COB.
∴
=
.
由题意得BH=2,CO=3,BO=3,
∴PH=2.
∴P(1,2).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cdbf6c81800a19d850b00cb430fa828ba71e46d4.jpg)
∴c=3,
-9+3b+3=0,解得b=2.
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
则顶点M为(1,4).
(2)如图1,∵点A、B关于抛物线的对称轴对称,
∴连接BC与抛物线对称轴交于一点,即为所求点P.
设对称轴与x轴交于点H,
∵PH∥y轴,
∴△PHB∽△COB.
∴
PH |
CO |
BH |
BO |
由题意得BH=2,CO=3,BO=3,
∴PH=2.
∴P(1,2).
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