如图，直线y=-x+b（b>0）与双曲线y=kx（x>0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，现有以下结论：①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S△AOB=k；④

Question

如图，直线y=-x+b（b>0）与双曲线y= (k)/(x)（x>0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，现有以下结论：
①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S_△AOB=k；④当AB= √(2)时，AM=BN=1．其中结论正确的是___．

Answer 1

②设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点A、B在双曲线y=(k)/(x)上，
∴x₁•y₁=x₂•y₂=k．
将y=-x+b代入y=(k)/(x)中，整理得：x²-bx+k=0，
∴x₁•x₂=k，
又∵x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN．
在△OMA和△ONB中，

OM=ON

∠OMA=∠ONB

AM=BN

，
∴△AOM≌△BON（SAS），②正确；
①∵△AOM≌△BON，
∴OA=OB，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正确；
③作OH⊥AB于点H，如图1所示．
∵OA=OB，∠AOB=45°，△AOM≌△BON，
∴∠AOH=∠BOH=22.5°，∠AOM=∠BON=22.5°．
在△AOM和△AOH中，

∠OMA=∠OHA=90°

∠AOM=∠AOH=22.5°

OA=OA

，
∴△AOM≌△AOH（AAS），
同理：△BON≌△BOH，
∴△AOM≌△AOH≌△BON≌△BOH，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=(1)/(2)k+(1)/(2)k=k，③正确；
④延长MA、NB交于G点，如图2所示．
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB=√(2)时，GA=GB=(√(2))/(2)AB=1，
∵OM、ON不确定，
∴无法得出AM=AN=1，④错误．
综上所述：结论正确的是①②③．
故答案为：①②③．