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如图,直线y=-x+b(b>0)与双曲线y=kx(x>0)交于A、B两点,连接OA、OB,AM⊥y轴于M,BN⊥x轴于N,现有以下结论:①OA=OB;②△AOM≌△BON;③若∠AOB=45°,则S△AOB=k;④
题目详情
如图,直线y=-x+b(b>0)与双曲线y=
(x>0)交于A、B两点,连接OA、OB,AM⊥y轴于M,BN⊥x轴于N,现有以下结论:
①OA=OB;②△AOM≌△BON;③若∠AOB=45°,则S△AOB=k;④当AB=
时,AM=BN=1.其中结论正确的是___.
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k |
x |
①OA=OB;②△AOM≌△BON;③若∠AOB=45°,则S△AOB=k;④当AB=
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▼优质解答
答案和解析
②设点A(x1,y1),B(x2,y2),
∵点A、B在双曲线y=
上,
∴x1•y1=x2•y2=k.
将y=-x+b代入y=
中,整理得:x2-bx+k=0,
∴x1•x2=k,
又∵x1•y1=k,
∴x2=y1,x1=y2,
∴ON=OM,AM=BN.
在△OMA和△ONB中,
,
∴△AOM≌△BON(SAS),②正确;
①∵△AOM≌△BON,
∴OA=OB,
∴①OA=OB,②△AOM≌△BON,正确;
③作OH⊥AB于点H,如图1所示.![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_ecc3a6be9474f92854411ebdbc8bc92c.jpg)
∵OA=OB,∠AOB=45°,△AOM≌△BON,
∴∠AOH=∠BOH=22.5°,∠AOM=∠BON=22.5°.
在△AOM和△AOH中,
,
∴△AOM≌△AOH(AAS),
同理:△BON≌△BOH,
∴△AOM≌△AOH≌△BON≌△BOH,
∴S△AOB=S△AOH+S△BOH=S△AOM+S△BON=
k+
k=k,③正确;![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_4e59df9dea56b04c6f04ede8d86ebbe9.jpg)
④延长MA、NB交于G点,如图2所示.
∵NG=OM=ON=MG,BN=AM,
∴GB=GA,
∴△ABG为等腰直角三角形,
当AB=
时,GA=GB=
AB=1,
∵OM、ON不确定,
∴无法得出AM=AN=1,④错误.
综上所述:结论正确的是①②③.
故答案为:①②③.
∵点A、B在双曲线y=
k |
x |
∴x1•y1=x2•y2=k.
将y=-x+b代入y=
k |
x |
∴x1•x2=k,
又∵x1•y1=k,
∴x2=y1,x1=y2,
∴ON=OM,AM=BN.
在△OMA和△ONB中,
|
∴△AOM≌△BON(SAS),②正确;
①∵△AOM≌△BON,
∴OA=OB,
∴①OA=OB,②△AOM≌△BON,正确;
③作OH⊥AB于点H,如图1所示.
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∵OA=OB,∠AOB=45°,△AOM≌△BON,
∴∠AOH=∠BOH=22.5°,∠AOM=∠BON=22.5°.
在△AOM和△AOH中,
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∴△AOM≌△AOH(AAS),
同理:△BON≌△BOH,
∴△AOM≌△AOH≌△BON≌△BOH,
∴S△AOB=S△AOH+S△BOH=S△AOM+S△BON=
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④延长MA、NB交于G点,如图2所示.
∵NG=OM=ON=MG,BN=AM,
∴GB=GA,
∴△ABG为等腰直角三角形,
当AB=
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∵OM、ON不确定,
∴无法得出AM=AN=1,④错误.
综上所述:结论正确的是①②③.
故答案为:①②③.
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