如图,已知△ABC中,AB=AC=5,tanC=3/4,BC=8,点D是BC边上一个动点（不与B、C重合）,DE//AC交AB于E点,DF⊥AC于F点,设BD=x,S△DEF=y.（1）求y关于x的函数关系式,并写出定义域（2）是否存在这样的点D,使D、E、F

Question

如图,已知△ABC中,AB=AC=5,tan C=3/4,BC=8,点D是BC边上一个动点（不与B、C重合）,DE//AC交AB于E点,DF⊥AC于F点,设BD=x,S△DEF=y.（1）求y关于x的函数关系式,并写出定义域（2）是否存在这样的点D,使D、E、F为顶点的三角形与三角形DFC相似?如果存在求BD的长,如果不存在,请说理由

Answer 1

（1）在Rt△ABC中,∠C=90°
∵ tanB=ACBC=34,∴设AC=3k,BC=4k,
∴AB=5k=5,∴k=1,
∴AC=3,BC=4；
（2）过点E作EH⊥BC,垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=CF=3k,BH=4k,BE=5k；
∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC
∵∠FDE=∠C=90°
∴△EFD∽△FDC
∴ EFFD=FDCD∴FD2=EF•CD,
即9k2+4=2（4-4k）
化简,得9k2+8k-4=0
解得 k=-4±2139（负值舍去）,
∴ BE=5k=1013-209；
（3）过点E作EH⊥BC,垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=3k,BE=5k
∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°
∴∠HED=∠FDC
∵∠EHD=∠C=90°
∴△EHD∽△DCF
∴ EHCD=DEDF,
当△DEF和△ABC相似时,有两种情况：1° DEDF=ACBC=34,
∴ EHCD=34,
即 3k2=34解得 k=12,
∴ BE=5k=52（3分）2° DEDF=BCAC=43,
∴ EHCD=43,
即 3k2=43解得 k=89,
∴ BE=5k=409．
综合1°、2°,当△DEF和△ABC相似时,BE的长为 52或 409．