如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q

Question

如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．

（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）
（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q．
①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；
②当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）如图1，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E； 

（2）连接PE，如图2，

∵点M是BE的中点，PQ⊥BE
∴PQ垂直平分BE．
∴PB=PE，
∴∠PEB=∠PBE=90°-∠AEB=90°-60°=30°，
∴∠APE=∠PBE+∠PEB=60°，
∴∠AEP=90°∠APE=90°-60°=30°，
∴BP=EP=2AP．
（3）NQ=2MQ或NQ=MQ．
理由如下：
如图3所示，过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则QF=CB．

∵正方形ABCD中，AB=BC，
∴FQ=AB．
在Rt△ABE和Rt△FQP中，
∵

BE=PQ

AB=FQ

∴△ABE≌△FQP（HL）．
∴∠FQP=∠ABE=30°．
又∵∠MGO=∠AEB=60°，
∴∠GMO=90°，
∵CD∥AB．
∴∠N=∠ABE=30°．
∴NQ=2MQ．
如图4所示，过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则QF=CB．

同理可证△ABE≌△FQP．
此时∠FPQ=∠AEB=60°．
又∵∠FPQ=∠ABE+∠PMB，∠N=∠ABE=30°．
∴∠EMQ=∠PMB=30°．
∴∠N=∠EMQ，
∴NQ=MQ．