如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的

Question

如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB=6，AD=8，求FG的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF，
∴△BDF是等腰三角形；

（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵FD∥BG，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵DF=BF，
∴四边形BFDG是菱形；
②∵AB=6，AD=8，
∴BD=10．
∴OB=(1)/(2)BD=5．
假设DF=BF=x，∴AF=AD-DF=8-x．
∴在直角△ABF中，AB²+A²=BF²，即6²+（8-x）²=x²，
解得x=(25)/(4)，
即BF=(25)/(4)，
∴FO=√(BF2-OB2)=√(((25)/(4))2-52)=(15)/(4)，
∴FG=2FO=(15)/(2)．