如图，L1，L2，L3是同一平面内的三条平行直线，L1与L2间的距离是1，L2与L3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在L1，L2，L3上，求△ABC的边长．

Question

如图，L₁，L₂，L₃是同一平面内的三条平行直线，L₁与L₂间的距离是1，L₂与L₃间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在L₁，L₂，L₃上，求△ABC的边长．

Answer 1

解法一：作高AE，BG，CF（如图1）．
设AD=x，则AC=3x，于是DG=(x)/(2)，BG=(√(3))/(2)•3x=(3√(3))/(2)x．
由Rt△BDG∽Rt△CDF，
∴(BG)/(CF)=(DG)/(DF)，即((3√(3))/(2)x)/(2)=((x)/(2))/(DF)，
∴DF=(2)/(3√(3))，
∴DE=(1)/(3√(3))，因此AD²=AE²+DE²=1+(1)/(27)=(28)/(27)，
∴AD=√((28)/(27))，
∴AC=3x=3×√((28)/(27))=(2√(21))/(3)．

解法二：如图2，过A，C作AE，CF垂直于L₂，点E，F是垂足，
将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L₂于点G．
由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．
在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．
∴BD=(4√(3))/(3)．
在Rt△ABD中，AB=√(BD2+AD2)＝√(((4√(3))/(3))2+22)=(2√(21))/(3)．

解法三：如图3，设点B关于L₃的对称点是E，连接AE，CE，延长EB交L₁于点G，则CE=CB，
∵CA=CB，
∴点A，B，E在以C为圆心，CA为半径的圆上，
∴∠AEB=(1)/(2)∠ACB=30°，设AG=x，
在Rt△AEG中，AE=2x，而GE=5，
∴4x²=x²+25，得x²=(25)/(3)．
在Rt△ABG中，
∵AB²=BG²+AG²=1+(25)/(3)，
∴AB=(2√(21))/(3)．