如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m>0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△

Question

如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m>0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax²+bx+n（a≠0）过E，A′两点．
（1）填空：∠AOB=___°，用m表示点A′的坐标：A′（___，___）；
（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且 (BP)/(AP)= (1)/(3)时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；
（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：
①求a，b，m满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．

Answer 1

（1）∵B（2m，0），C（3m，0），
∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，
∵AB=2BC，
∴AB=2m=0B，
∵∠ABO=90°，
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即A′（m，-m）；
故答案为：45；m，-m；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：
由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），
∵(BP)/(AP)=(1)/(3)，
∴P（2m，(1)/(2)m），
∵A′为抛物线的顶点，
∴设抛物线解析式为y=a（x-m）²-m，
∵抛物线过点E（0，n），
∴n=a（0-m）²-m，即m=2n，
∴OE：OD′=BC：AB=1：2，
∵∠EOD′=∠ABC=90°，
∴△D′OE∽△ABC；
（3）①当点E与点O重合时，E（0，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c过点E，A，
∴

n=0

am2+bm+n=-m

，
整理得：am+b=-1，即b=-1-am；
②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，
∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，
若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，
∴a（3m）²-（1+am）•3m=0，
整理得：am=(1)/(2)，即抛物线解析式为y=(1)/(2m)x²-(3)/(2)x，
由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y=x，
联立抛物线与直线OA解析式得：

y=x

y=(1)/(2m)x2-(3)/(2)x

，
解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），
令5m=10，即m=2，
当m=2时，a=(1)/(4)；
若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）²-（1+am）•2m=2m，
解得：am=2，
∵m=2，
∴a=1，
则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为(1)/(4)≤a≤1．