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已知:如图,在△ABC中,如果∠A是锐角,点D,E分别在AB,AC上,且∠DCB=∠EBC=12∠A.求证:BD=CE.
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已知:如图,在△ABC中,如果∠A是锐角,点D,E分别在AB,AC上,且∠DCB=∠EBC=
∠A.
求证:BD=CE.
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求证:BD=CE.
▼优质解答
答案和解析
证法一:如图1,作CG⊥BE于G点,作BF⊥CD交CD延长线于F点.
∵CG⊥BE,BF⊥CD,
∴∠F=∠CGB=90°,
在△BCF和△CBG中,
,
∴△BCF≌△CBG(AAS),
∴BF=CG,
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,
∠BEC=∠ABE+∠A,
∴∠BDF=∠BEC,
∵在△BDF和△CEG中,
,
∴△BDF≌△CEG(AAS),
∴BD=CE.
证法二:如图2,以C为顶点作∠FCB=∠DBC,CF交BE于F点.
∵在△BDC和△CFB中,
∴△BDC≌△CFB(SAS),
∴BD=CF,∠BDC=∠CFB,
∴∠ADC=∠CFE,
∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE,
∠FEC=∠A+∠ABE,
∴∠ADC=∠FEC,
∴∠FEC=∠CFE,
∴CF=CE,
∴BD=CE.
∵CG⊥BE,BF⊥CD,
∴∠F=∠CGB=90°,
在△BCF和△CBG中,
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∴△BCF≌△CBG(AAS),
∴BF=CG,
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,
∠BEC=∠ABE+∠A,
∴∠BDF=∠BEC,
∵在△BDF和△CEG中,
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∴△BDF≌△CEG(AAS),
∴BD=CE.
证法二:如图2,以C为顶点作∠FCB=∠DBC,CF交BE于F点.
∵在△BDC和△CFB中,
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∴△BDC≌△CFB(SAS),
∴BD=CF,∠BDC=∠CFB,
∴∠ADC=∠CFE,
∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE,
∠FEC=∠A+∠ABE,
∴∠ADC=∠FEC,
∴∠FEC=∠CFE,
∴CF=CE,
∴BD=CE.
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