如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：1AD＝1AB+1AC．

Question

如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：(1)/(AD)＝(1)/(AB)+(1)/(AC)．

Answer 1

证明：过D引DE∥AB，交AC于E．
∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°．
又∠BAD=∠EDA=60°，
所以∴△ADE是正三角形，
∴EA=ED=AD．①
由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，
∴(DE)/(AB)=(CE)/(CA)=(CA−AE)/(CA)=1-(AE)/(CA)．②
由①，②得(AD)/(AB)=1-(AD)/(AC)，
从而(1)/(AB)+(1)/(AC)=(1)/(AD)．