如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长．

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长．

Answer 1

∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=(1)/(2)BC，
∵BC=12，
∴EF=6，
取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，过点E作EG⊥BC于G，
∵AD是BC边上的高，AD=6，
∴OQ=EG=(1)/(2)×6=3，
∴点Q即为所求的使∠EQF=90°的点，
∵EF∥BC，EG∥OQ，OE=OQ=3，
∴四边形OEQG是正方形，
∴GQ=OQ=3，
∵点E是AB的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG=(1)/(2)AD=3，
∵∠ABC=60°，
∴BG=(√(3))/(3)EG=(√(3))/(3)×3=√(3)，
∴BQ=BG+GQ=3+√(3)．