如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；（2）求证：AB=CF+DM．

Question

如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．
（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；
（2）求证：AB=CF+DM．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∵∠DAE=∠DEA，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥AD，
∵M为AG中点，
∴AG=2DM=4，
∵DN⊥CD，
∴∠ADM+∠MDG=∠MDG+∠EDG，
∴∠ADM=∠EDG，
∴∠DAE+∠ADM=∠DEA+∠EDG，
即∠DMG=∠DGM，
∴DG=DM=2，
在Rt△ADG中，DE=AD=√(AG2−DG2)=2√(3)；

（2）证明：过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，
在△ADH和△FDC中，

∠ADH＝∠FDC

AD＝FD

∠DAH＝∠DFC＝90°

，
∴△DAH≌△DFC（ASA），
∴AH=FC，DH=DC，
∵DF⊥AD，
∴AH∥DF，
∴∠HAM=∠DGM，
∵∠AMH=∠DMG，∠DMG=∠DGM，
∴∠HAM=∠HMA，
∴AH=MH，
∴MH=CF，
∴AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM．