感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135&d

Question

感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB-AC=___（用含a的代数式表示）

Answer 1

探究：
证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，

∠F=∠DEB

∠FCD=∠B

DF=DB

，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC=DB．
应用：解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，

∠F=∠DEB

∠FCD=∠B

DC=DB

，
∴△DFC≌△DEB，
∴DF=DE，CF=BE，
在RT△ADF和RT△ADE中，

AD=AD

DE=DF

，
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AB-AC=（AE+BE）-（AF-CF）=2BE，
在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=a，
∴BE=(√(2))/(2)a，
∴AB-AC=√(2)a．
故答案为√(2)a．