如图，已知矩形ABCD，AB=12cm，AD=10cm，O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm

Question

如图，已知矩形ABCD，AB=12cm，AD=10cm， O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、xcm/s、1.5cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动，设运动时间为t（单位：s）

（1）求证：DE=CF；
（2）设x=3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；
（3）设△PAQ关于直线PQ对称轴的图形是△PA′Q，当t和x分别为何值时，点A′与圆心O恰好重合，求出符合条件的t，x的值．

Answer 1

（1）证明：作OG⊥EF于G，设 O与AD边相切于M，连接MO并延长交BC于N，如图1所示：
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴MN⊥BC，
∵BC是 O的切线，
∴N为切点，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD，
∵OG⊥CD，
∴DG=CG，EG=FG，
∴DE=CF；
（2） 分两种情况：
①x=3时，0≤t≤4，∠A=∠B，
当△PAQ∽△QBR时，(AP)/(BQ)=(AQ)/(BR)，
即(10-t)/(12-3t)=(3t)/(1.5t)=2，
解得：t=(14)/(5)；
②当△PAQ∽△RBQ时，(AP)/(BR)=(AQ)/(BQ)，
即(10-t)/(1.5t)=(3t)/(12-3t)，
解得：t=2√(69)-14；
综上所述：t的值为(14)/(5)或2√(69)-14；
（3） 如图2所示：根据题意得：AA′被直线PQ垂直平分，
∴△APQ为等腰直角三角形，
∴PQ=AA′=6√(2)，
∴AP=AQ=6，
∴

10-t=6

tx=6

，
解得：t=4，x=(3)/(2)．